什麼是最大公因數與最小公倍數？
最大公因數（HCF，也寫作 GCD）是兩個或多個整數共同的因數中最大的那一個。例如 12 的因數有 1、2、3、4、6、12，18 的因數有 1、2、3、6、9、18，兩者共同的因數是 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以 12 和 18 的最大公因數是 6。
最小公倍數（LCM）是兩個或多個整數共同的倍數中最小的那一個。12 和 18 的公倍數有 36、72、108……，最小的是 36。這是台灣國中數學七年級「因數與倍數」單元的重點，也是後面通分、約分的基礎。
短除法怎麼做？
短除法是求最大公因數與最小公倍數最快的方法：把兩個數並排，用一個能同時整除兩數的質數去除，把商寫在下一列，重複到兩個商沒有共同因數（互質）為止。
- 最大公因數＝左邊所有除數相乘。
- 最小公倍數＝左邊所有除數 × 最後一列剩下的兩個數。
常見易錯點
- 把最大公因數和最小公倍數搞混：公因數要「小於等於兩數」，公倍數要「大於等於兩數」。
- 短除法沒除到互質就停下來，會讓最大公因數算太小。
- 算最小公倍數時忘了乘上最後一列剩下的數。
- 好用的檢查法：最大公因數 × 最小公倍數 = 兩數相乘，可用來驗算。
範例詳解
短除法：先用 2 除得 6、9；再用 3 除得 2、3；2 和 3 互質停止。最大公因數＝2×3＝6，最小公倍數＝2×3×2×3＝36。驗算：6×36＝216＝12×18。✓
用 2 除得 4、6；再用 2 除得 2、3；互質停止。最大公因數＝2×2＝4，最小公倍數＝2×2×2×3＝24。
兩數都是質數且不相等，沒有大於 1 的公因數，所以最大公因數＝1（互質），最小公倍數＝7×13＝91。
常見問題
最大公因數和最小公倍數有什麼關係？
對任兩個正整數，最大公因數 × 最小公倍數 = 這兩個數的乘積。所以算出其中一個，就能用除法求另一個，也可以拿來驗算。
兩個數互質是什麼意思？
互質是指兩個數的最大公因數為 1，也就是除了 1 以外沒有共同的因數，例如 8 和 15。互質時，最小公倍數就等於兩數相乘。
短除法的除數一定要是質數嗎？
習慣上用質數（2、3、5、7……）去除，過程最清楚也不會漏。用合數雖然也可能算對，但容易出錯，建議照質數由小到大試。
可以用在分數的通分約分嗎？
可以。約分時把分子分母同除以最大公因數，就能一次化成最簡分數；通分時用分母的最小公倍數當公分母最省事。
※ 本工具為學習輔助用途，計算方式依台灣國中數學課程常見教法設計。作業與考試請以老師教學與課本為準。