什麼是質因數分解？
質因數分解，是把一個大於 1 的整數寫成幾個質數相乘的形式。質數是只有 1 和自己兩個因數的數，像 2、3、5、7、11 都是質數；而 4、6、8、9 這種還能再被拆開的叫合數。任何一個合數，都能被拆成質數的乘積，而且拆出來的質數組合是唯一的，這在數學上叫算術基本定理。這是台灣國中數學的基礎單元，後面學最大公因數、最小公倍數、約分通分，都要靠它。
舉例來說，360 這個數，可以一路拆成 2×2×2×3×3×5，也就是三個 2、兩個 3 和一個 5 相乘。把相同的質數用指數收起來，就寫成 。上面的計算機做的就是這件事：先用短除法把過程列出來，再幫你整理成指數形式。
短除法怎麼做？
短除法是課本最常教的分解方法，做法很直覺。把要分解的數寫在最上面，左邊畫一條直線，開始從最小的質數 2 試除。能整除就把商寫在下一行，繼續除；除到 2 除不盡了，換下一個質數 3，接著 5、7、11 這樣往上換。一直除到最後的商變成 1，或者剩下一個質數為止。左邊那一整排除數，由上到下就是全部的質因數。
換個角度看，這個計算機的做法是：從除數 2 開始試，只要能整除就一直除、一直記下這個除數，除不盡才把除數加大去試下一個。因為每次都先把小的質數除乾淨，剩下的自然不會再有小質數的倍數，所以試除時碰到的除數一定是質數，不會誤抓到合數。全程用整數運算，不會有小數誤差。
常見易錯點
- 把 1 當成質因數寫進去。1 既不是質數也不是合數，分解結果裡不會出現 1。
- 除到一半就停手。要除到商等於 1，或剩下的數本身已經是質數，才算分完。
- 指數漏算。同一個質數出現幾次，指數就是幾。像 8 是三個 2 相乘，要寫 ，不是 。
- 用合數當除數。短除法的除數必須是質數，不能拿 4、6 這種去除。
- 忘了大質數本身。分解到最後如果剩下一個大於 1 的數且再也除不動，那個數就是最後一個質因數，別漏掉。
範例詳解
依序除以 2、2、2、3、3、5：。整理成指數形式就是 。這題同時有 2 的三次方和 3 的二次方，是練習指數的好例子。
先除 2 得 42，再除 2 得 21，21 除不盡 2，換 3 得 7，7 是質數。所以 。只有 2 出現兩次要寫指數，3 和 7 各一次。
97 用 2、3、5、7 去試都除不盡，開根號約 9.8，不必再往上試，可判定 97 是質數。質數的質因數分解就是它自己：。這也提醒我們，質數不用再拆。
常見問題
短除法到底怎麼做？
把數寫在最上面，左邊從最小質數 2 開始試除。能整除就把商寫下一行繼續除，除不盡就換下一個質數 3、5、7。一直除到商為 1 或剩下質數為止，左邊那排除數由上到下就是全部質因數。
1 是質數嗎？1 要寫進分解裡嗎？
1 不是質數，也不是合數，它只有一個因數就是自己。質因數分解裡不會出現 1，寫成連乘或指數時也不會把 1 列進去。輸入 1 時沒有質因數可分解。
怎麼寫成指數形式？
把分解出來的質因數連乘中，相同的質數收在一起。同一個質數出現幾次，指數就是幾。例如 72＝2×2×2×3×3，三個 2 寫成 2³、兩個 3 寫成 3²，整理後就是 2³×3²。只出現一次的質數不必寫指數。
質數要怎麼分解？
質數只有 1 和自己兩個因數，本身沒辦法再拆成更小的質數相乘。所以質數的質因數分解就是它自己，例如 13＝13、97＝97。試除時只要除到候選除數的平方大於這個數還除不盡，就能確定它是質數。
質因數分解有什麼用？
它是求最大公因數與最小公倍數的基礎。把兩數都分解後，取相同質因數的較低次方相乘就是最大公因數，取所有質因數的較高次方相乘就是最小公倍數。約分、通分、化簡根號也都會用到。
※ 本工具為學習輔助用途，計算方式依台灣國中數學課程常見教法設計。作業與考試請以老師教學與課本為準。