一元二次方程式與求根公式
一元二次方程式是指只含一個未知數、且未知數最高次方為 2 的方程式，標準式寫成 ，其中 a、b、c 是已知的數，而且 a 不能等於 0（否則二次項消失，就變成一元一次方程式了）。這是台灣國中數學九年級的重要單元。
解一元二次方程式的萬用工具就是求根公式：
只要把方程式整理成標準式、讀出 a、b、c，代進公式就能求出根。上面的計算機就是照這個公式一步步幫你算，並把過程攤開來給你看。
判別式：先看有幾個實根
公式裡根號內的部分 稱為判別式，它決定了方程式有幾個實數解：
- D > 0：有兩個相異實根。
- D = 0：有一個實根（兩根重合，稱為重根）。
- D < 0：沒有實數解（國中範圍內無解）。
先算判別式，就能在動手代公式前先知道答案會長什麼樣子，這也是考試很愛考的觀念。
常見易錯點
- 沒先整理成標準式就讀係數。例如 要先移項成 才能讀出 b = −5、c = 6。
- 係數的正負號代錯，尤其 −b 與 b² 的部分。b = −5 時，−b = 5、b² = 25。
- 忘記檢查 a 是否為 0；a = 0 就不是二次方程式。
- 判別式為完全平方時，根其實是整數或分數，答案不必寫成小數。
範例詳解
例 1：解
a = 1、b = −5、c = 6。判別式 ，有兩個相異實根。
所以 x = 3 或 x = 2。（這題也能因式分解成 (x−3)(x−2)=0 對照驗算。）
例 2：解
a = 1、b = −2、c = −2。判別式 。
因為 12 不是完全平方，根是無理數，約為 x ≈ 2.732 或 x ≈ −0.732。
例 3：解
a = 2、b = −4、c = 2。判別式 ，有一個重根。
所以 x = 1（重根）。
常見問題
判別式是什麼？要怎麼用？
判別式是求根公式根號裡的 。它大於 0 有兩個相異實根、等於 0 有一個重根、小於 0 沒有實數解。先算它就能預知答案型態。
「沒有實數解」是什麼意思？
當判別式小於 0，根號內是負數，在實數範圍內開不了根號，所以方程式在國中範圍沒有解。到高中學了虛數後才會有複數解。
求根公式和因式分解哪個好用？
能一眼看出因式分解時，因式分解比較快；但係數不好分解或根是無理數時，求根公式一定解得出來。兩種方法答案會一樣，可以互相驗算。
a 可以是 0 嗎？
不行。a = 0 時二次項消失，方程式變成 bx + c = 0 的一元一次方程式，就不能用二次的求根公式了。
※ 本工具為學習輔助用途，計算方式依台灣國中數學課程常見教法設計。作業與考試請以老師教學與課本為準。