什麼是二元一次聯立方程式？
「二元」指有兩個未知數（通常是 x 和 y），「一次」指未知數的最高次方是一次，沒有平方或更高次。把兩個這樣的方程式放在一起，同時要求兩式都成立的解，就叫做二元一次聯立方程式。它的一組解是一對數 ，代進兩式都會讓等號成立。這是台灣國中數學的核心單元，段考與會考幾乎年年出現。
幾何上，每一個二元一次方程式都是坐標平面上的一條直線。解聯立方程式，等於在找這兩條直線的交點。這也解釋了為什麼會出現三種結果：兩線相交於一點（唯一解）、兩線平行不相交（無解）、兩線根本是同一條（無限多解）。
加減消去法怎麼運作
加減消去法的核心，是把某一個未知數的係數湊成相同或相反，再把兩式相減或相加，讓那個未知數消失，剩下一元一次方程式就能直接解。做法是先各自乘上適當的倍數（通常用兩個係數的最小公倍數），對齊要消去的那一元，接著相減消掉它，解出另一元，最後把結果回代任一原式求出第一個未知數。上面的計算機就是照這個流程逐步展示。
另一種常見解法是代入消去法：把其中一式整理成「y 等於含 x 的式子」，再整段代進另一式。兩種方法答案一樣，差別在操作習慣。係數容易對齊時用加減法快，某一元係數是 1 時用代入法直覺。
行列式判斷解的個數
是否有唯一解，可以用行列式 判斷。當 時，兩線斜率不同，一定交於一點，有唯一解，且 、，其中 、。當 時，再看 與 ：兩者都為 0，兩式其實是同一條線，無限多解；只要有一個不為 0，兩線平行，無解。
常見易錯點
- 移項或整理時漏掉負號。把 的 b 記成 5 而非 −5。
- 相減時只減了含未知數那一項，忘了等號右邊的常數也要一起減。
- 消去係數沒對齊就直接相減，未知數沒消掉。
- 解出一元後忘記回代，只寫出一半答案。
- 看到 就直接寫無解，沒再檢查是不是無限多解。
範例詳解
解 。第二式兩邊乘 3 得 ，與第一式相加消去 y：，得 。回代第二式 ，得 。解為 。
解 。行列式 ，但 。兩線平行、常數不成比例，無交點，此系統無解。
解 。第二式正好是第一式的 2 倍，兩式代表同一條直線。 且 ，線上每一點都是解，因此有無限多解。
解 。計算機一樣能處理，，有唯一解 。小數係數的答案會以小數呈現。
常見問題
代入法和消去法有什麼差別？
兩者都是為了把兩個未知數減成一個。代入法是把一式整理成「y 等於含 x 的式子」，再整段代進另一式；消去法（加減法）是把某一元係數湊成相同或相反，再相減或相加把它消掉。答案完全一樣，選哪一種看哪個算起來順手。某一元係數是 1 時代入法直覺，係數方便對齊時加減法快。
什麼時候聯立方程式會無解？
當兩條直線平行但不重合時無解。判斷方式是行列式 D = a₁b₂ − a₂b₁ 等於 0，且 Dx 或 Dy 不等於 0。直觀地說，就是兩式左邊未知數的比例相同，但常數的比例對不上，代表兩條線斜率一樣卻不在同一位置，永遠不相交。
D 等於 0 一定是無解嗎？
不一定。D = 0 只代表沒有唯一解，還要再看 Dx 和 Dy。如果 Dx 和 Dy 都是 0，表示兩式其實是同一條直線，線上每一點都是解，這是無限多解；只要 Dx 或 Dy 有一個不為 0，才是無解。所以看到 D = 0 別急著下結論。
係數可以是小數或負數嗎？
可以。這個計算機的六個係數都接受負數與小數，遇到負係數也會正確處理正負號。要注意的是，當係數含小數時，解不一定是整數，計算機會用小數呈現答案；若係數全為整數且答案是分數，則會化成最簡分數。
答案是分數時怎麼呈現？
當你輸入的六個係數都是整數時，唯一解會以最簡分數呈現（用最大公因數約分），例如 x = 7/3。這樣比四捨五入的小數更精確，也符合考試寫法。若係數含小數，則改用小數近似值。
※ 本工具為學習輔助用途，計算方式依台灣國中數學課程常見教法設計。作業與考試請以老師教學與課本為準。